Lineares Gleichungssystem 3×3 / Gauß

Größen und Einheiten

Durchgerechnetes Beispiel

Koeffizientenmatrix A: 2; 1; -1 | -3; -1; 2 | -2; 1; 2 · Rechte Seite b: 8; -11; -3

Schritt für Schritt

1. 1

   Erweiterte Matrix [A | b] aufstellen

   $$\text{[2; 1; -1; 8] | [-3; -1; 2; -11] | [-2; 1; 2; -3]}$$
2. 2

   Zeilen tauschen: Z1 ↔ Z2

   $$\text{[-3; -1; 2; -11] | [2; 1; -1; 8] | [-2; 1; 2; -3]}$$
3. 3

   Pivot auf 1 bringen: Z1 durch -3 teilen

   $$\text{[1; 0,3333333333; -0,6666666667; 3,666666667] | [2; 1; -1; 8] | [-2; 1; 2; -3]}$$

   | Z1 ÷ -3
4. 4

   Eintrag in Spalte 1 beseitigen

   $$\text{[1; 0,3333333333; -0,6666666667; 3,666666667] | [0; 0,3333333333; 0,3333333333; 0,6666666667] | [-2; 1; 2; -3]}$$

   | Z2 − (2) · Z1
5. 5

   Eintrag in Spalte 1 beseitigen

   $$\text{[1; 0,3333333333; -0,6666666667; 3,666666667] | [0; 0,3333333333; 0,3333333333; 0,6666666667] | [0; 1,666666667; 0,6666666667; 4,333333333]}$$

   | Z3 − (-2) · Z1
6. 6

   Zeilen tauschen: Z2 ↔ Z3

   $$\text{[1; 0,3333333333; -0,6666666667; 3,666666667] | [0; 1,666666667; 0,6666666667; 4,333333333] | [0; 0,3333333333; 0,3333333333; 0,6666666667]}$$
7. 7

   Pivot auf 1 bringen: Z2 durch 1,666666667 teilen

   $$\text{[1; 0,3333333333; -0,6666666667; 3,666666667] | [0; 1; 0,4; 2,6] | [0; 0,3333333333; 0,3333333333; 0,6666666667]}$$

   | Z2 ÷ 1,666666667
8. 8

   Eintrag in Spalte 2 beseitigen

   $$\text{[1; 0; -0,8; 2,8] | [0; 1; 0,4; 2,6] | [0; 0,3333333333; 0,3333333333; 0,6666666667]}$$

   | Z1 − (0,3333333333) · Z2
9. 9

   Eintrag in Spalte 2 beseitigen

   $$\text{[1; 0; -0,8; 2,8] | [0; 1; 0,4; 2,6] | [0; 0; 0,2; -0,2]}$$

   | Z3 − (0,3333333333) · Z2
10. 10

    Pivot auf 1 bringen: Z3 durch 0,2 teilen

    $$\text{[1; 0; -0,8; 2,8] | [0; 1; 0,4; 2,6] | [0; 0; 1; -1]}$$

    | Z3 ÷ 0,2
11. 11

    Eintrag in Spalte 3 beseitigen

    $$\text{[1; 0; 0; 2] | [0; 1; 0,4; 2,6] | [0; 0; 1; -1]}$$

    | Z1 − (-0,8) · Z3
12. 12

    Eintrag in Spalte 3 beseitigen

    $$\text{[1; 0; 0; 2] | [0; 1; 0; 3] | [0; 0; 1; -1]}$$

    | Z2 − (0,4) · Z3
13. 13

    Lösung aus der letzten Spalte ablesen

    $$\text{x = (2; 3; -1)}$$

Ergebnis: (2; 3; -1)

Voraussetzungen und typische Fehler

Die Gauß-Elimination mit Pivotwahl löst ein reguläres System. Nicht eindeutige oder numerisch singuläre Systeme werden abgefangen.

Wähle die Einheiten zu den eingegebenen Werten. Einheitenwechsel verändern die Einheit des Zahlenwerts; der Zahlenwert bleibt stehen. Bei Divisionen darf der Nenner nicht null sein. Weitere Einschränkungen werden direkt am Eingabefeld angezeigt.

Wo du das brauchst

Studium: Lineare Algebra

Mathematik; Algebra; Technische Mathematik.

Einordnung: KMK Mathematik – Kern. M-L1 Algorithmus und Zahl; Gleichungen und Gleichungssysteme.

Anwendungen in der Ausbildung: alle technischen und kaufmännischen Ausbildungsberufe.